pH-Wert Berechnung 6: Herleitung der großen pH-Formel

In diesem Beitrag geht es um die Herleitung der großen pH-Formel.

Zur Übersichtlichkeit habe ich die Herleitung unterteilt nach der Abfolge der Formeln, die notwendig sind um die großen pH-Formel herzuleiten. Wichtig: diese Formel ist nur für einprotonige Säuren und geht von idealen Säuren aus, d.h. es werden keine Aktivitäten betrachtet.

Wer sich das ganze lieber in einem Video erklären lässt, der kann ja dem Link folgen.

Herleitung (Text)

Säurekonstante (K_S) – Start
Anfangskonzentration (C₀)
Ladungsbilanz (Vergleich von positiven und negativen Ladungsträgern)
Ionenprodukt des Wassers (K_W)
Die große pH-Formel – Ende

Video der Herleitung

Herleitung der großen pH-Formel

Ausgangspunkt für die Herleitung der großen pH-Formel ist die Säurekonstante (K_S).

Die Säurekonstante (K_S) ist gegeben durch:

(1)

$K_{S} = \frac{[H_{3}O^{+}] \ \bullet \ [A^{-}]}{[HA]}$

Durch umformen erhält man:

(2)

$K_{S} = \frac{[H_{3}O^{+}]\ \bullet \ [A^{-}]}{[HA]} \ \ \ \ | \ \bullet \quad[HA]}$

(3) ⇐ Umformung von (1)

$K_{S} \ \bullet \ [HA] = [H_{3}O^{+}] \ \bullet \ [A^{-}]$

Als nächstes benötigt man die Anfangskonzentration (c₀), sie ist gegeben durch folgende Formel:

(4)

$c_{0} = [HA] \ + \ [A^{-}]$

Durch umformen erhält man:

(5)

$c_{0} = [HA] \ + \ [A^{-}] \ \ \ \ \ | \ - \ [A^{-}]$

(6) ⇐ Umformung von (4)

$[HA] = c_{0} \ - \ [A^{-}]$

Nun kann man [HA] in der Formel (3) durch (6) ersetzen. Dann ergibt sich:

(7) ⇐ (6) in (3)

$K_{S} \ \bullet \ (c_{0} \ - \ [A^{-}]) = [H_{3}O^{+}] \ \bullet \ [A^{-}]$

Als nächstes benötigt man die Ladungsbilanz.

Die Ladungsbilanz ist gegeben durch:

(8)

$[H_{3}O^{+}] = [OH^{-}] \ + \ [A^{-}]$

Durch umformen erhält man:

(9)

$[H_{3}O^{+}] = [OH^{-}] \ + \ [A^{-}] \ \ \ \ \ \ | \ \ - \ [OH^{-}]$

(10) ⇐ Umformung von (8)

$[A^{-}] = [H_{3}O^{+}] \ - \ [OH^{-}]$

Jetzt kann man [A^–] in der Formel (7) durch (10) ersetzen. Dann erhält man:

(11) ⇐ (10) in (7)

$K_{S} \ \bullet \ (c_{0} \ - \ ([H_{3}O^{+}] \ - \ [OH^{-}])) = [H_{3}O^{+}] \ \bullet \ ( [H_{3}O^{+}] \ - \ [OH^{-}])$

Als nächstes benötigt man das Ionenprodukt des Wassers.

Das Ionenprodukt des Wassers ist gegeben durch:

(12)

$K_{W} = [H_{3}O^{+}] \ \bullet \ [OH^{-}]}$

Durch umformen erhält man:

(13)

$K_{W} = [H_{3}O^{+}] \ \bullet \ [OH^{-}]} \ \ \ \ \ \ \ \ | \ \div \ [H_{3}O^{+}]$

(14) ⇐ Umformung von (12)

$[OH^{-}] = \frac{K_{W}}{[H_{3}O^{+}]}$

Jetzt kann man [OH^–] in der Formel (11) durch (14) ersetzen. Dann erhält man:

(15) ⇐ (14) in (11)

$K_{S} \ \bullet \ (c_{0} \ - \ ([H_{3}O^{+}] \ - \ \frac{K_{W}}{[H_{3}O^{+}]})) = [H_{3}O^{+}] \ \bullet \ ( [H_{3}O^{+}] \ - \ \frac{K_{W}}{[H_{3}O^{+}]})$

(16) ⇐ Umformung von 15

$K_{S} \ \bullet \ c_{0} \ - \ K_{S} \ \bullet \ [H_{3}O^{+}] \ + \ \frac{K_{S} \ \bullet \ K_{W}}{[H_{3}O^{+}]} = [H_{3}O^{+}] \ ^{2} \ - \ K_{W}$ (17)

$K_{S} \ \bullet \ c_{0} \ - \ K_{S} \ \bullet \ [H_{3}O^{+}] \ + \ \frac{K_{S} \ \bullet \ K_{W}}{[H_{3}O^{+}]} = [H_{3}O^{+}] \ ^{2} \ - \ K_{W} \ \ \ \ \ \ \ | \ \bullet \ [H_{3}O^{+}]$

(18) ⇐ (16) * [H₃O⁺]

$K_{S} \ \bullet \ c_{0} \ \bullet\ [H_{3}O^{+}] \ \ - \ K_{S} \ \bullet \ [H_{3}O^{+}] \ ^{2} \ + K_{S} \ \bullet \ K_{W} = [H_{3}O^{+}] \ ^{3} \ - \ K_{W} \ \bullet \ [H_{3}O^{+}]$

Durch umformen dieser Formel nach 0 ergibt sich die große pH-Formel für einprotonige Säuren.

Die große pH-Formel

(19) ⇐ Umformung von (18)

$[H_{3}O^{+}] \ ^{3} \ + \ [H_{3}O^{+}] \ ^{2} \ \bullet \ K_{S} \ - \ [H_{3}O^{+}] \ \bullet \ (K_{W} \ + \ K_{S} \ \bullet \ c_{0}) \ - \ K_{S} \ \bullet \ K_{W} = 0$

Video der Herleitung

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